Romanos:
O sistema de numeração romana (ou números romanos) desenvolveu-se na Roma Antiga e utilizou-se em todo o seu Império. Neste sistema as cifras escrevem-se com determinadas letras, que representam os números. As letras são sempre maiúsculas, já que no alfabeto romano não existem as minúsculas, as letras são I, V, X, L, C, D e M.
As equivalências dos numerais romanos com o sistema decimal são as seguintes:
No sistema de numeração romano as letras devem situar-se da ordem de maior valor para a de menor valor. Não se deve escrever mais de três I, ou três X, ou três C em qualquer número. Se estas letras se situam antes (à esquerda) de um V, um L, ou um D, subtrai-se o seu valor à cifra das ditas letras. Exemplo: IX, XC ou XL, que significam, 9, 90, 40 respectivamente.
Os romanos desconheciam o zero, introduzido posteriormente pelos árabes, de forma que não existia nenhuma forma de representação deste valor.
Para cifras elevadas os romanos utilizavam um travessão colocado por cima da letra correspondente. O travessão multiplicava o valor da letra por 1.000. Por exemplo, um C correspondia ao valor 100.000 (100 x 1.000), e um M correspondia ao valor 1.000.000 (1.000 x 1.000).
Apresentam-se vários exemplos de números romanos, com as suas equivalências decimais:
As equivalências dos numerais romanos com o sistema decimal são as seguintes:
No sistema de numeração romano as letras devem situar-se da ordem de maior valor para a de menor valor. Não se deve escrever mais de três I, ou três X, ou três C em qualquer número. Se estas letras se situam antes (à esquerda) de um V, um L, ou um D, subtrai-se o seu valor à cifra das ditas letras. Exemplo: IX, XC ou XL, que significam, 9, 90, 40 respectivamente.
Os romanos desconheciam o zero, introduzido posteriormente pelos árabes, de forma que não existia nenhuma forma de representação deste valor.
Para cifras elevadas os romanos utilizavam um travessão colocado por cima da letra correspondente. O travessão multiplicava o valor da letra por 1.000. Por exemplo, um C correspondia ao valor 100.000 (100 x 1.000), e um M correspondia ao valor 1.000.000 (1.000 x 1.000).
Apresentam-se vários exemplos de números romanos, com as suas equivalências decimais:
Romana Decimal
I 1
II 2
III 3
IV 4
V 5
VI 6
VII 7
VIII 8
IX 9
X 10
XX 20
XXX 30
XL 40
L 50
LX 60
LXX 70
I 1
II 2
III 3
IV 4
V 5
VI 6
VII 7
VIII 8
IX 9
X 10
XX 20
XXX 30
XL 40
L 50
LX 60
LXX 70
LXXX 80
XC 90
C 100
CC 200
CCC 300
CD 400
D 500
DC 600
DCC 700
DCCC 800
CM 900
M 1000
MM 2000
MMM 3000
MMMCMXCIX 3999
IV 4000
V 5000
VI 6000
VII 7000
VIII 8000
IX 9000
X 10000
C 100000
M 1000000 14 xiv
VIII 8000
IX 9000
X 10000
C 100000
M 1000000 14 xiv
Egipcios:
Os egípcios tinham um sistema numérico decimal representado por hieroglifos. Usavam símbolos para a unidade, para a dezena, para a centena, para o milhar, para a dezena de milhar, para a centena de milhar e para o milhão.
Os numerais hieroglíficos dos egípcios
Os numerais hieroglíficos dos egípcios
Os símbolos que foram usados para representar as quantidades são:
Um bastão (traço vertical) para 1
Um osso para 10
Um alçapão para 100
Flor de lótus para 1.000
Um dedo curvado para 10.000
Peixe para 100.000
Uma figura ajoelhada para 1.000.000
Existe uma inscrição em pedra, originária de al Karnak e datada de cerca de 1.500 a.C., atualmente exposta no museu do Louvre em Paris, que mostra os valores 276 e 4622 dispostos conforme as figuras 1 e 2. Este é um sistema numérico muito prático e fácil de aprender. Adiciona-se os símbolos na quantidade desejada, substituindo dez símbolos iguais pelo de valor imediatamente superior. Assim, 10 símbolos para o valor 1 podem ser substituídos por 1 símbolo de valor 10. A ordem e a disposição dos "algarismos" egípcios não influem no resultado e dão liberdade ao escriba de criar o conjunto de acordo com o gosto de cada um.
As frações no Egito antigo eram restritas a frações unitárias. Com exceção de 2/3, usada com frequência, e de 3/4, usada mais raramente, as frações sempre tinham um numerador igual a 1. Este numerador era representado por um "olho de Horus", que significa "parte".
Depois da invenção do papiro, a escrita egípcia já havia sido simplificada e usava-se a escrita hierática. Os numerais, como não podia deixar de ser, também foram simplificados. Durante aproximadamente 2.000 anos da civilização egípcia antiga, os numerais em hieroglifos foram usados principalmente nas inscrições em pedra e, os hieráticos, em papiro.
Os numerais hieráticos
Os numerais hieráticos tinham a vantagem de permitirem expressar valores de uma forma bem mais compacta, mas também tinham uma desvantagem - o número de símbolos que precisavam ser memorizados era bem maior. O valor 9999, por exemplo, precisava apenas de 4 símbolos na notação hierática enquanto que, com hieroglifos, precisaria de 36 símbolos. Os dois sistemas continuavam sendo não-posicionais, ou seja, a posição dos símbolos não influenciava no valor que representavam. Observe as figuras 6 e 7 - ambas mostram o valor 2765.
Os cálculos dos egípcios
Construções fantásticas, entre elas as famosas pirâmides, grandes sistemas de irrigação, o uso de calendários, o conhecimento de astronomia e o controle das colheitas indicam que os egípcios da Antiguidade sabiam calcular muito bem. Mas, além das suposições, existem provas concretas destas habilidades, comprovadas por alguns papiros que não foram destruídos pelo tempo. Um dos mais famosos, o papiro de Rhind, também conhecido pelo nome de Ahmes (que é o nome do escriba que fez as anotações), encontra-se atualmente exposto no Museu Britânico em Londres e nos mostra 87 problemas resolvidos.
O papiro de Ahmes foi comprado por um egiptologista escocês, A. Henry Rhind, em 1858, na cidade de Luxor. É um rolo de cerca de 6 metros de comprimento por 30 centímetros de largura e foi escrito ao redor de 1.650 a.C. Nele Ahmes escreveu que copiou os problemas de um outro papiro, escrito 200 anos antes. Outro papiro famoso, que contém 25 problemas, é conhecido como papiro de Moscou ou papiro de Golenischev (o nome do comprador). Infelizmente, neste último, o escriba não revelou o próprio nome para que pudesse ser lembrado alguns milênios mais tarde.
Se este texto despertou a sua curiosidade e você quiser saber como os egípcios calculavam, acho que vai gostar de ler Calculando com os egípcios. Neste texto, além das operações aritméticas básicas, o porque dos egípcios insistirem em usar as frações "esquisitas" de numerador 1 é explicado em detalhes.
Os cálculos dos egípcios
Construções fantásticas, entre elas as famosas pirâmides, grandes sistemas de irrigação, o uso de calendários, o conhecimento de astronomia e o controle das colheitas indicam que os egípcios da Antiguidade sabiam calcular muito bem. Mas, além das suposições, existem provas concretas destas habilidades, comprovadas por alguns papiros que não foram destruídos pelo tempo. Um dos mais famosos, o papiro de Rhind, também conhecido pelo nome de Ahmes (que é o nome do escriba que fez as anotações), encontra-se atualmente exposto no Museu Britânico em Londres e nos mostra 87 problemas resolvidos.
O papiro de Ahmes foi comprado por um egiptologista escocês, A. Henry Rhind, em 1858, na cidade de Luxor. É um rolo de cerca de 6 metros de comprimento por 30 centímetros de largura e foi escrito ao redor de 1.650 a.C. Nele Ahmes escreveu que copiou os problemas de um outro papiro, escrito 200 anos antes. Outro papiro famoso, que contém 25 problemas, é conhecido como papiro de Moscou ou papiro de Golenischev (o nome do comprador). Infelizmente, neste último, o escriba não revelou o próprio nome para que pudesse ser lembrado alguns milênios mais tarde.
Se este texto despertou a sua curiosidade e você quiser saber como os egípcios calculavam, acho que vai gostar de ler Calculando com os egípcios. Neste texto, além das operações aritméticas básicas, o porque dos egípcios insistirem em usar as frações "esquisitas" de numerador 1 é explicado em detalhes.
Maias:
O sistema de numeração maia adotado pela civilização pré-colombiana dos Maias é um sistema de numeração vigesimal, ou seja, tem base vinte. A origem desta base de contagem é o número de dedos somando os dedos das mãos e o dos pés.
Os numerais são representados por símbolos compostos por pontos e barras, sendo o zero a única exceção por ser representado pelo desenho de uma concha. Por exemplo, o número doze é escrito usando dois pontos na horizontal sobre duas barras também horizontais como mostra o diagrama.
Números superiores a dezenove são escritos na vertical seguindo potências de vinte em notação posicional. Por exemplo o número trinta e três é escrito como um ponto seguido logo abaixo por três pontos horizontais sobre duas barras que representam uma vintena e treze unidades. De fato 20 + 13 = 33 usando o sistema decimal.
Os numerais são representados por símbolos compostos por pontos e barras, sendo o zero a única exceção por ser representado pelo desenho de uma concha. Por exemplo, o número doze é escrito usando dois pontos na horizontal sobre duas barras também horizontais como mostra o diagrama.
Números superiores a dezenove são escritos na vertical seguindo potências de vinte em notação posicional. Por exemplo o número trinta e três é escrito como um ponto seguido logo abaixo por três pontos horizontais sobre duas barras que representam uma vintena e treze unidades. De fato 20 + 13 = 33 usando o sistema decimal.
Outro exemplo é o número 5125 que pode ser decomposto em potências de vinte da seguinte forma:
Portanto seria escrito de cima para baixo usando os numerais doze, dezesseis e cinco.
O sistema de contagem vigesimal também influenciava calendário maia sendo o fechamento de um período de vinte anos um momento parecido com o fechamento de uma década para nós. Alguns calendários usavam um sistema modificado de contagem onde a terceira casa vigesimal não denotava múltiplos de 20 × 20, mas sim de 18 × 20 pois assim era possível uma contagem aproximada da duração em dias do ano solar dado que 18 × 20 = 360.
Portanto seria escrito de cima para baixo usando os numerais doze, dezesseis e cinco.
O sistema de contagem vigesimal também influenciava calendário maia sendo o fechamento de um período de vinte anos um momento parecido com o fechamento de uma década para nós. Alguns calendários usavam um sistema modificado de contagem onde a terceira casa vigesimal não denotava múltiplos de 20 × 20, mas sim de 18 × 20 pois assim era possível uma contagem aproximada da duração em dias do ano solar dado que 18 × 20 = 360.
Indu-Arabicos:
Filippo Calandri, De Arithmetica, Florença: Lorenzo Morgiani e Johannes Petri, 1 de Janeiro, 1491-92. Página 145 com a terminologia "Numeri in abaco scribendi" referindo-se aos algarismos arábicos.
Figura da grafia manuscrita com o correto sequenciamento e formato dos algarismos arábicos na página de título do livro " Libro Intitulado Arithmetica Practica " por Juan de Yciar, matemático e calígrafo Basco, Saragossa 1549
Os algarismos arábicos ou árabes, foram trazidos da Índia para o Ocidente e por isto também são chamados indo-arábicos.
Foram criados por Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi (778 (?) - 846).
Al-Khwarizmi nasceu na região central da Ásia, onde hoje está localizado o Uzbequistão. Posteriormente emigrou para Bagdá, onde trabalhou na “Casa da Sabedoria” como matemático durante a era áurea da ciência islâmica. Vários séculos depois, quando seus textos foram traduzidos ao Latim e introduzidos na Europa, seu nome deu origem às palavras "algoritmo" e "algarismo".
Figura da grafia manuscrita com o correto sequenciamento e formato dos algarismos arábicos na página de título do livro " Libro Intitulado Arithmetica Practica " por Juan de Yciar, matemático e calígrafo Basco, Saragossa 1549
Os algarismos arábicos ou árabes, foram trazidos da Índia para o Ocidente e por isto também são chamados indo-arábicos.
Foram criados por Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa al-Khwarizmi (778 (?) - 846).
Al-Khwarizmi nasceu na região central da Ásia, onde hoje está localizado o Uzbequistão. Posteriormente emigrou para Bagdá, onde trabalhou na “Casa da Sabedoria” como matemático durante a era áurea da ciência islâmica. Vários séculos depois, quando seus textos foram traduzidos ao Latim e introduzidos na Europa, seu nome deu origem às palavras "algoritmo" e "algarismo".
Etimologia
Durante a Idade Média assim foram chamados:
Modus Indorum [1]
De numerorum abaci rationibus [2]
Regulae Abaci, l'autre intitulé: De numeris, sont la même chose que l'Abacus. [3]
De Arte Numerandi
Algorismus de integris
Algorismus de integris abbreviatus
Algorismus vulgaris
Algorismus cifra [4]
Numeri in abaco scribendi - Filippo Calandri, De Arithmetica, Florença: Lorenzo Morgiani e Johannes Petri, 1 de Janeiro, 1491-92.[5]
Arabicè ciphra
Dixit algorizmi [[6]]
Algoritmi de numero Indorum [7]
Paleografia dos algarismos arábicos
Os algarismos indo-arábicos são as formas de simbolismo mais comumente usadas para representar os números. Porém duas questões ainda permanecem entre alguns matemáticos:
Será que todos os números indo-arábicos que usamos atualmente seriam na realidade ideogramas numéricos?
Teriam sido estes símbolos idealizados de uma maneira lógica?
Na Idade Média, como podemos ver nas figuras, o sistema de numeração arábico era grafado nesta sequência:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, o. Podemos também observar que o símbolo "o" tratava-se de pequeno circulo.
Atualmente o sistema de numeração arábico consiste dos símbolos abaixo:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
que são derivados da versão ainda hoje usada no mundo muçulmano:
٩, ٨, ٧, ٦, ٥, ٤, ٣, ٢, ١, ٠
Teoria sobre a paleografia dos algarismos arábicos: 1, 2, 3 e 4
Teoricamente pode-se supor que cada algarismo continha originalmente exatamente a quantidade de ângulos cujo número se desejava representar.
Esta figura explana a “Nova teoria da raiz gráfica dos modernos numerais europeus”. Cada numeral que usamos atualmente deveria ser lido como um ideograma numérico. Hipoteticamente os numerais foram grafados e definidos usando aritmética simples: a) O numeral 1 (um), 2 (dois), 3 (três), 4 (quatro) foram baseados em ângulos aditivos. b) Os numerais 5 (cinco), 6 (seis), 7 (sete), 8 (oito), 9 (nove), o (dez) foram definidos usando os conhecimentos acerca das notações manuscritas dos ábacos. Neste caso foi usado um pequeno e especial ábaco que tinha apenas seis contas de base cinco-dez de modo semelhante à mão humana.
Teoricamente pode-se supor que cada algarismo continha originalmente exatamente a quantidade de ângulos cujo número se desejava representar[carece de fontes?].
Assim o algarismo "1" era representado por dois traços que se uniam num vórtice superior (como um "V" invertido), o "2" como um "Z", o "3" como um sigma (Σ) invertido, o "4" quase exatamente como é hoje.
Em outras palavras, os números arábicos um, dois, três e quatro foram baseados em traços que formam ângulos, assim:
a) O número um tem um ângulo,
b) O número dois tem dois ângulos aditivos,
c) O número três tem três ângulos aditivos,
d) O número quatro tem quatro ângulos aditivos.
Teoricamente, devido à escrita cursiva, o número quatro teria sido modificado e fechado, facilitando a sua caligrafia e futura tipografia, tornando-o diferente, por exemplo, do símbolo da cruz.[8]
Teoria sobre a paleografia dos algarismos arábicos: 5,6,7,8,9 e 0
Teoricamente, os números: “5“ (cinco/quinto), “6“ (seis/sexto), “7“ (sete/sétimo), “8“ (oito/oitavo), “9“ (nove/nono), e “0“ (dez/décimo) foram definidos usando os conhecimentos sobre as representações manuscritas do ábaco. Um tipo de ábaco de base cinco/dez foi especialmente usado de modo semelhante a representar os valores de cada mão humana.
Teoria sobre a paleografia do "zero": definindo um símbolo para o zero
O "zero" foi introduzido posteriormente e a sua correta notação foi de extrema importância histórica, pois a cadência decimal usada pelos números indo-arábicos impunha a sua representação gráfica. Esta representação teria sido historicamente demorada por corresponder à casa vazia do ábaco. Também o fato de o símbolo do zero ser um círculo, e este não apresentar ângulo algum, é um indicativo de que a origem deste algarismo seguiu o mesmo principio da origem dos outros algarismos arábicos.
Difusão européia e internacional dos algarismos indo-arábicos
Foram introduzidos na Europa por Fibonacci, matemático e mercador italiano, que escreveu no seu livro Liber abaci [9] os conhecimentos que adquiriu no Oriente.
Os algarismos indo-arábicos não foram adotados em Portugal nem na península ibérica de imediato.
Hoje é usada uma versão pouco modificada da grafia medieval na maioria dos países do mundo.
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